Блог им. korson → Устные счёт (продолжение)
Продолжение устного счёта.
1. Найти бесконечное произведение
\[ \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{17}{16} \cdots
\frac{2^{2^n} + 1}{2^{2^n}} \cdots \]
2. Вычислить
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}
\prod\limits_{k = 1}^n \left(1 + \frac{1}{a_k} \right), \]
если
\[ a_1 = 1,~a_k = k(a_{k-1} + 1).\]
3. Найти предел последовательности
\[ x_n = \sum\limits_{k = n^2}^{(n+1)^2} \frac{1}{\sqrt{k}} .\]
1. Найти бесконечное произведение
\[ \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{17}{16} \cdots
\frac{2^{2^n} + 1}{2^{2^n}} \cdots \]
2. Вычислить
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}
\prod\limits_{k = 1}^n \left(1 + \frac{1}{a_k} \right), \]
если
\[ a_1 = 1,~a_k = k(a_{k-1} + 1).\]
3. Найти предел последовательности
\[ x_n = \sum\limits_{k = n^2}^{(n+1)^2} \frac{1}{\sqrt{k}} .\]
- +1
- korson
- 15 декабря 2010, 12:25
Комментарии (16)
rss свернуть / развернуть1. Кажется будет 2. Найти бы ещё аналитическое доказательство…
свернуть ветку
свернуть ветку
свернуть ветку
В общем, если в первой задаче брать конечные произведения, то в числителе всегда будет степень двойки + 1, а в знаменателе — предыдущая степень двойки. Так как и числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, то +1 можно пренебречь и остается только степень двойки в числителе и предыдущая степень в знаменателе.
Ну а если поделить — то будет 2.
свернуть ветку
2. e
3. 0 что-ли? Хотя тут не уверен…
свернуть ветку
свернуть ветку
свернуть ветку
свернуть ветку
свернуть ветку
2 = (2n + 2) \cdot \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} +… + \frac{1}{n+ 1} < (2n + 2) \cdot \frac{1}{n} \rightarrow 2
свернуть ветку
Что-то совсем уж призабыл матанализ :)
А формулы лучше вставлять между двойными знаками $.
Тогда они должны нормально отображаться:
$$
2 = (2n + 2) \cdot \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} +… + \frac{1}{n+ 1} < (2n + 2) \cdot \frac{1}{n} \rightarrow 2
$$
свернуть ветку
свернуть ветку
$$
x_i = 2^{2^i}; x_0 = 2;
x_0 + 1 = \frac{x_1 — 1}{x_0-1};
\left( x_0 + 1 \right) \left( x_1 + 1 \right) = \frac{x_2 — 1}{x_0-1};
\prod\limits_{i=0}^{n} \left( x_i + 1 \right ) = \frac{x_{n + 1} — 1}{x_0 — 1};
x_0 = \frac{x_1}{x_0};
x_0 \cdot x_1 = \frac{x_2}{x_0};
\prod\limits_{i=0}^{n} x_i = \frac{x_{n + 1}}{x_0};
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \prod\limits_{i=0}^{n} \frac{x_i + 1}{x_i} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_0}{x_0 — 1}\frac{x_{n + 1} — 1}{x_{n+1}} = 2;
$$
свернуть ветку
$$
x_i = 2^{2^i}; x_0 = 2;
$$
Числитель:
$$
x_0 + 1 = \frac{x_1 — 1}{x_0-1};
\left( x_0 + 1 \right) \left( x_1 + 1 \right) = \frac{x_2 — 1}{x_0-1};
\prod\limits_{i=0}^{n} \left( x_i + 1 \right ) = \frac{x_{n + 1} — 1}{x_0 — 1};
$$
Знаменатель:
$$
x_0 = \frac{x_1}{x_0};
x_0 \cdot x_1 = \frac{x_2}{x_0};
\prod\limits_{i=0}^{n} x_i = \frac{x_{n + 1}}{x_0};
$$
Итого:
$$
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \prod\limits_{i=0}^{n} \frac{x_i + 1}{x_i} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_0}{x_0 — 1}\frac{x_{n + 1} — 1}{x_{n+1}} = 2;
$$
свернуть ветку
$$
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \prod\limits_{k = 1}^n \left( 1 + \frac{1}{a_k} \right) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n} + 1}{n!} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=0}^{n} {\frac{1}{i!}} = e
$$
свернуть ветку
свернуть ветку