LiveStreet

— Привет, я вот тут пару вопросов про симметрию хотел задать. Есть минутка?

— Привет. Время есть, но не думаю что я смогу объяснить всю симметрию за минутку.

— Меня больше интересует симметрия в физике. Я где-то слышал, что в современной физике понятие симметрии имеет важную роль.
— Да, это так. Большая часть современных физических теорий в своей основе имеет какую-то симметрию. Но давай для начала (если быть последовательным) определим значений понятия «симметрия». Как ты думаешь, что это?

— В зеркале предметы симметрично отображаются. Может, это когда что-то остается неизменным?

— Правильно. Вот только пример с зеркалом не совсем корректный. В случае с зеркалом у нас проявляется неравноправие правой и левой половины. Это так называемая «хиральность» — нарушение симметрии относительно правой и левой стороны. А симметрия — это неизменность чего-то при каких-то преобразованиях. Какие ты можешь назвать преобразования?

— Можно относительно 0 координаты поменять. Может умножить координату, так что бы изменить размеры их. Повернуть можно. Или это уже не будет преобразование?

— Всё верно. Могу лишь добавить что преобразования могут быть практически любыми. Как преобразование координат (сдвиг, повороты, масштабирование), так и что-то более абстрактное, например «калибровочная инвариантность» и «принцип относительности».

— Понятно. А почему тогда симметрия такую важную роль занимает в физике?

— Один умный и уважаемый человек доказал теорию Нётер (даю домашнее задание, узнать кто доказал эту теорию), что симметрии (инвариантности) физической системы соответствует какой-то закон сохранения. А последние, бесспорно, занимают важное место в физике. Невероятно сложно исследовать системы в которых нет каких-то постоянных, от которых можно было бы «танцевать».

— А может всё-таки про симметрию? Законы сохранения я знаю, про энергию и импульс…

— Хех. Например, закон сохранения энергии основан на симметрии времени относительно трансляции (мы можем произвольным способом брать ноль-точку времени). Инвариантность относительно сдвигов пространства — закон сохранения импульса. А Лоренц-инвариатность отвечает за сохранение интервала (не в 3-пространстве, а в 3+1-пространстве-времени, я думаю я расскажу про это как-то в другой раз).

— Хорошо. Но получается что для разных разделов физики разные законы сохранения будут.

— Ты почти прав. Но есть одно но. Законы сохранения принципиально гораздо фундаментальней любых физических теорий. Потому-что теория это лишь модель над реальным миром. Изначально теорема Нётера была доказана для механических систем, но потом была обобщена сначала на теорию поля (один из фундаментальных разделов физики где изучаются системы с бесконечным числом степеней свободы, в отличии от механики, где число степеней свободы наперёд известно и не меняется), а затем и на квантовой теории поля.

— Интересно. А как математически выражается это вся симметрия?

— Современный раздел математики — теория групп, как раз и изучает свойства симметрии относительно разных преобразований. Но этот раздел сложный и требует знаний некоторых других разделов математики.

— Печально.

— Не надо расстраиваться, сейчас покажу проще пример. Вот есть у нас система, бесконечный стержень, в одной-единственной точке нагретый до какой-то температуры. Как думаешь какие симметрии здесь есть, а каких нету?

— Мне кажется что есть симметрия относительно этой точки. Ведь так, как стержень в обе стороны бесконечные мы можем ноль поместить в эту точку. И наверное всё…

— Не только это. Есть ещё неравноправие, с физической точки зрение, прошлого и будущего. Теплота не может сама собраться в одной точке, это бы нарушило 2-ой закон термодинамики. Из этих двух симметрий уже можно сделать некоторый выводы про уравнение которое описывает распределение температуры, так называемое уравнение теплопроводности.
$$\frac{\partial}{\partial t}u(x, t) = \alpha\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x, t)$$

— Подожди. А почему именно так?

— Первая производная по аргументу анти-симметрична — результат меняет знак, при смене знака аргумента у функции. Взяв производные от
$$\frac{d}{dt}f(t), \frac{d}{dt}f(-t)$$ ты можешь сам убедишься в моей правоте. Вторая производная — симметрична.

— А, понял. Тогда вторая производная по-времени у нас для отображения симметрии относительно нагретой точки. А что такое тогда α?

— Это какой-то коэффициент который зависит от материала из которого сделан стержень.

— А насколько это уравнение соответствует действительности?

— Сравни сам. Вот уравнение выведенное более точными методами. Я не ставил перед собой такую цель, я лишь хотел показать качественную картину.
$$\frac{\partial}{\partial t}u(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}D\frac{\partial}{\partial x}{u(x,t)} + f(x,t)$$
Как видишь наше качественное уравнение немного не дотягивает до более правильного. И это лишь на двух симметриях задачи. Понял как в симметрии есть сила?

— Да… Но можно ещё один вопрос?

— Только один.

— Почему в более точном решение D, как я понял наше α, стоит под знаком дифференциала?

— Могу лишь сказать что можешь и сам догадаться, тут лежит ещё одна симметрия которую я неявным образом применил.

PS:
Решил написать статью про симметрию в таком, достаточно необычном формате. Жду критику и пожелания. Если понравилось буду продолжать писать.

PPS:
Публикую в личный — не знаю где лучше.